$n^2 - 1$ is divisible by 8, if $n$ is
(A) 一個整數
(B) 一個自然數
(C) 一個奇數
(D) 一個偶數

已知

$n^2 - 1$ 可被 8 整除。

要求

我們必須找到正確的選項。

解答

設 $a = n^2 - 1$，其中 n 可以是偶數或奇數。

當 n 為偶數時，

$n = 2k$，其中 k 為整數。

這意味著，

$a = (2k)^2 - 1$

$a = 4k^2 - 1$

對於 $k = -1$，

$a = 4(-1)^2 - 1$

$= 4 - 1$

$= 3$，不能被 8 整除。

對於 $k = 0$，

$a = 4(0)^2 - 1$

$= 0 - 1$

$= -1$，不能被 8 整除。

當 n 為奇數時，$n = 2k + 1$，其中 k 為整數，

這意味著，

$a = (2k+1)^2-1$

$=4k^2+4k+1-1$

$=4k^2+4k$

$=4k(k+1)$

對於 $k = 1$，

$a=4(1)(1 + 1)$

$= 8$，可以被 8 整除。

因此，我們可以從以上兩個觀察結果得出結論：如果 n 是奇數，則 $n^2 - 1$ 可被 8 整除。

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更新於：2022年10月10日

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