如果 $n$ 是一個奇數，則證明 $n^2 - 1$ 可以被 8 整除。

已知

$n$ 是一個奇數。

要求

我們必須證明 $n^2 - 1$ 可以被 8 整除。

解答

令 $a = n^2 - 1$，其中 $n$ 可以是偶數或奇數。

當 $n$ 是偶數時，

$n = 2k$，其中 $k$ 是一個整數。

這意味著，

$a = (2k)^2 - 1$

$a = 4k^2 - 1$

對於 $k = -1$，

$a = 4(-1)^2 - 1$

$= 4 - 1$

$= 3$，它不能被 8 整除。

對於 $k = 0$，

$a = 4(0)^2 - 1$

$= 0 - 1$

$= -1$，它不能被 8 整除。

當 $n$ 是奇數時，$n = 2k + 1$，其中 $k$ 是一個整數，

這意味著，

$a = (2k+1)^2-1$

$=4k^2+4k+1-1$

$=4k^2+4k$

$=4k(k+1)$

對於 $k = 1$，

$a=4(1)(1 + 1)$

$= 8$，它可以被 8 整除。

因此，我們可以從以上兩個觀察結果得出結論，如果 $n$ 是奇數，則 $n^2 - 1$ 可以被 8 整除。 

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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