利用數學歸納法的原理，證明以下等式。
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$

已知： $1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$

要求：利用數學歸納法的原理，證明對所有 $n\epsilon N$，$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$ 成立。

假設 $P ( n):1+3+3^2++3^{n-1}=\frac{( 3^n-1)}{2}$

當 $n=1$ 時，$L.H.S.=1$

$R.H.S.=\frac{( 3^1-1)}{2}=\frac{( 3^1)}{2}=\frac{( 2)}{2}=1$

因此，$L.H.S.=R.H.S.$

$P( n)$ 當 $n=1$ 時成立。

我們假設 $P( k)$ 成立

$1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$ ............$( i)$

對於 $P( k+1)$

$1+3+3^2+..+ 3^{( k+1)-1}=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$

$1+3+3^2+...3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$ ........$( ii)$

我們需要從 $P( k)$ 推匯出 $P( k+1)$，即從 $( i)$ 推匯出 $( ii)$。

從 $( i)$， 

$1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$

 

兩邊同時加上 $3^k$ 

$1+3+3^2+..+3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^k-1)}{2}+3^k$

$=\frac{( 3^k-1)+2( 3^k))}{2}$

$=\frac{( 3^k-1+2(3^k)}{2}$

$=\frac{( 3(3^k)-1)}{2}$

$=\frac{(  3^{k+1}-1)}{2}$

 

因此，$1+3+3^2+..3^{k-1}+3^{k}=\frac{( 3^{k+1})-1)}{2}$ 

因此我們發現，當 $P( k)$ 成立時，$P( k+1)$ 也總是成立。根據數學歸納法的原理，

$P( n)$ 對所有 $n\epsilon N$ 成立。