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法學頻域卷積定理
卷積
兩個訊號$\mathit{x\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{h\left ( t \right )}$ 的卷積定義為：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}x\left(t\right)*h\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}x\left(\tau\right)\:h\left(t-\tau\right)\:d\tau}}$$
這個積分也稱為**卷積積分**。
頻域卷積定理
**定理** - 頻域卷積定理指出，兩個訊號在時域的乘積等效於它們頻譜在頻域的卷積。
因此，如果兩個訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}$ 的傅立葉變換定義為
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)} }$$
和
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)}}$$
那麼，根據頻域卷積定理，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)* X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left(t\right) \right ]\mathrm{=}X\left(\omega \right)=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\:dt}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]e^{-j\omega t}\:dt}}$$
現在，根據傅立葉逆變換的定義，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=F^{-\mathrm{1}}\left [X\left(\omega\right) \right ]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)e^{j\omega t}\:d\omega} }$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}(p) e^{jpt}\:dp\right ]x_{\mathrm{2}}\left(t\right)e^{-j\omega t}\:dt}}$$
透過重新排列積分順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\:e^{-j\omega t}\:e^{jpt}\:dt\right ]dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\:e^{-j\left(\omega -p\right)t}\:dt\right ]dp }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left(p\right)X_{\mathrm{2}}\left(\omega -p\right)\:dp}}$$
因此，根據卷積的定義，我們可以將上述表示式寫成：
$$\mathrm{ \mathit{F\left [ x_{\mathrm{\mathrm{1}}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right) *X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right) *X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$
這就是以弧度頻率表示的**頻域卷積定理**。就頻率而言，我們可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left(f\right)*X_{\mathrm{2}}\left(f\right);\:\:\left ( \because f=\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi } \right )}}$$
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