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法學將下列每個二次三項式分解因式
(i) $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$
(ii) $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$
已知
給定的二次三項式為
(i) $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$
(ii) $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$
要求
我們需要分解給定的二次三項式。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全分解了。
(i) 給定的表示式為 $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$。
我們可以透過拆分中間項來分解這個表示式。拆分中間項意味著我們將中間項改寫成兩個項的和或差。
這裡：
$(x-2y)^2$ 的係數為 $1$
$(x-2y)$ 的係數為 $-5$
常數項為 $6$
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6$ 可以寫成：
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y)^2-2(x-2y)-3(x-2y)+6$ [因為 $-5(x-2y)=-2(x-2y)-3(x-2y)$ 且 $(x-2y)^2 \times 6=-2(x-2y) \times -3(x-2y) =6(x-2y)^2$]
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y)[(x-2y)-2]-3[(x-2y)-2]$
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y-3)(x-2y-2)$
因此，給定的表示式可以分解成 $(x-2y-3)(x-2y-2)$。
(ii) 給定的表示式為 $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$。
我們可以透過拆分中間項來分解這個表示式。拆分中間項意味著我們將中間項改寫成兩個項的和或差。
這裡：
$(2a-b)^2$ 的係數為 $1$
$(2a-b)$ 的係數為 $2$
常數項為 $-8$
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8$ 可以寫成：
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b)^2+4(2a-b)-2(2a-b)-8$ [因為 $2(2a-b)=4(2a-b)-2(2a-b)$ 且 $(2a-b)^2 \times (-8)=4(2a-b) \times -2(2a-b) =-8(2a-b)^2$]
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b)[(2a-b)+4]-2[(2a-b)+4]$
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b+4)(2a-b-2)$
因此，給定的表示式可以分解成 $(2a-b-2)(2a-b+4)$。
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