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法律研究將以下每個二次三項式分解因式
(i) $6x^2-13xy+2y^2$
(ii) $14x^2+11xy-15y^2$
(iii) $6a^2+17ab-3b^2$
已知
給定的二次三項式為
(i) $6x^2-13xy+2y^2$
(ii) $14x^2+11xy-15y^2$
(iii) $6a^2+17ab-3b^2$
要求
我們需要對給定的二次三項式進行因式分解。
解
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因式的乘積時，它就被完全分解了。
(i) 給定的表示式為 $6x^2-13xy+2y^2$。
我們可以透過拆分中間項來對給定的表示式進行因式分解。拆分中間項意味著我們需要將中間項重寫為兩個項的和或差。
這裡，
$x^2$ 的係數為 $6$
$x$ 的係數為 $-13y$
常數項為 $2y^2$
$6x^2-13xy+2y^2$ 可以寫成，
$6x^2-13xy+2y^2=6x^2-12xy-xy+2y^2$ [因為 $-13xy=-12xy-xy$ 且 $6x^2 \times 2y^2=-12xy \times (-xy) =12x^2y^2$]
$6x^2-13xy+2y^2=6x(x-2y)-y(x-2y)$
$6x^2-13xy+2y^2=(6x-y)(x-2y)$
因此，給定的表示式可以分解成 $(6x-y)(x-2y)$。
(ii) 給定的表示式為 $14x^2+11xy-15y^2$。
我們可以透過拆分中間項來對給定的表示式進行因式分解。拆分中間項意味著我們需要將中間項重寫為兩個項的和或差。
這裡，
$x^2$ 的係數為 $14$
$x$ 的係數為 $11y$
常數項為 $-15y^2$
$14x^2+11xy-15y^2$ 可以寫成，
$14x^2+11xy-15y^2=14x^2+21xy-10xy-15y^2$ [因為 $11xy=21xy-10xy$ 且 $14x^2 \times (-15y^2)=21xy \times (-10xy) =210x^2y^2$]
$14x^2+11xy-15y^2=7x(2x+3y)-5y(2x+3y)$
$14x^2+11xy-15y^2=(2x+3y)(7x-5y)$
因此，給定的表示式可以分解成 $(2x+3y)(7x-5y)$。
(iii) 給定的表示式為 $6a^2+17ab-3b^2$。
我們可以透過拆分中間項來對給定的表示式進行因式分解。拆分中間項意味著我們需要將中間項重寫為兩個項的和或差。
這裡，
$a^2$ 的係數為 $6$
$a$ 的係數為 $17b$
常數項為 $-3b^2$
$6a^2+17ab-3b^2$ 可以寫成，
$6a^2+17ab-3b^2=6a^2+18ab-ab-3b^2$ [因為 $17ab=18ab-ab$ 且 $6a^2 \times (-3b^2)=18ab \times (-ab) =-18a^2b^2$]
$6a^2+17ab-3b^2=6a(a+3b)-b(a+3b)$
$6a^2+17ab-3b^2=(6a-b)(a+3b)$
因此，給定的表示式可以分解成 $(6a-b)(a+3b)$。
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