觀察以下規律
$2^2 – 1^2 = 2 + 1$
$3^2 – 2^2 = 3 + 2$
$4^2 – 3^2 = 4 + 3$
$5^2 – 4^2 = 5 + 4$
求下列各式的值
(i) $100^2 – 99^2$
(ii) $111^2 – 109^2$
(iii) $99^2 – 96^2$

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解題步驟

我們需要計算給定表示式的值。

解答

我們可以觀察到：

$2^2 – 1^2 = 2 + 1$

$3^2 – 2^2 = 3 + 2$

$4^2 – 3^2 = 4 + 3$

$5^2 – 4^2 = 5 + 4$

這意味著：

(i) $m^2-n^2=m+n$

因此：

$100^2 – 99^2=100+99=199$。

(ii) $m^2-n^2=m+n$

$111^2 – 109^2$ 可以寫成：

$111^2 – 109^2=111^2-110^2+110^2-109^2$

因此：

$111^2 – 109^2=(111^2-110^2)+(110^2-109^2)=(111+110)+(110+109)=221+219=440$

$=(111+110)+(110+109)$

$=440$

(iii) $m^2-n^2=m+n$

$99^2 – 96^2$ 可以寫成：

$99^2 – 96^2=99^2-98^2+98^2-97^2+97^2-96^2$

因此：

$99^2 – 96^2=(99^2-98^2)+(98^2-97^2)+(97^2-96^2)=(99+98)+(98+97)+(97+96)=197+195+193=585$

$=(99+98)+(98+97)+(97+96)$

$=585$