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法律研究因式分解下列代數式
(i) $a^2+4ab+3b^2$
(ii) $96-4x-x^2$
(iii) $a^4+3a^2+4$
已知
給定的表示式為
(i) $a^2+4ab+3b^2$。
(ii) $96-4x-x^2$
(iii) $a^4+3a^2+4$
要求
我們需要因式分解給定的代數式。
解答
代數表示式的因式分解
因式分解代數表示式意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式為 $a^2+4ab+3b^2$。
$a^2+4ab+3b^2$ 可以寫成，
透過拆分和分組項，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
$a^2+4ab+3b^2=a^2+ab+3ab+3b^2$ [因為 $4ab=ab+3ab$]
因此，
$a^2+4ab+3b^2=a^2+ab+3ab+3b^2$
$a^2+4ab+3b^2=a(a+b)+3b(a+b)$
$a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a+b)(a+3b)$。
(ii) 給定的表示式為 $96-4x-x^2$。
透過拆分和分組項，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
$96-4x-x^2$ 可以寫成，
$96-4x-x^2=-(x^2+4x-96)$
$96-4x-x^2=-(x^2+12x-8x-96)$ (因為 $4x=12x-8x$)
因此，
$96-4x-x^2=-(x^2+12x-8x-96)$
$96-4x-x^2=-[x(x+12)-8(x+12)]$
$96-4x-x^2=-(x+12)(x-8)$
$96-4x-x^2=(x+12)(8-x)$ [因為 $-(x-8)=(-x+8)=(8-x)$]
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+12)(8-x)$。
(iii) 給定的表示式為 $a^4+3a^2+4$。
透過拆分和分組項，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
$a^4+3a^2+4$ 可以寫成，
$a^4+3a^2+4=a^4+4a^2-a^2+4$ (因為 $3a^2=4a^2-a^2$)
$a^4+3a^2+4=(a^2)^2+2(a^2)(2)+2^2-a^2$
$a^4+3a^2+4=(a^2+2)^2-a^2$ [因為 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$]
因此，使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
$a^4+3a^2+4=(a^2+2)^2-a^2$
$a^4+3a^2+4=(a^2+2+a)(a^2+2-a)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a^2+a+2)(a^2-a+2)$。
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