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法律研究對下列代數式進行因式分解
(i) $4x^4+1$
(ii) $4x^4+y^4$
已知
給定的表示式為
(i) $4x^4+1$。
(ii) $4x^4+y^4$
要求
我們需要對給定的代數式進行因式分解。
解答
代數式的因式分解
對代數式進行因式分解意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式是 $4x^4+1$。
$4x^4+1$ 可以寫成：
$4x^4+1=4x^4+1+4x^2-4x^2$ (加減 $4x^2$)
$4x^4+1=[(2x^2)^2+2(2x^2)(1)+1^2]-4x^2$ [因為 $4x^4=(2x^2)^2, 1=(1)^2$ 且 $4x^2=2(2x^2)(1)$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=2x^2$ 且 $n=1$
所以，
$4x^4+1=[(2x^2)^2+2(2x^2)(1)+1^2]-4x^2$
$4x^4+1=(2x^2+1)^2-4x^2$
現在，
$(2x^2+1)^2-4x^2$ 可以寫成，
$(2x^2+1)^2-4x^2$=(2x^2+1)^2-(2x)^2$
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對 $(2x^2+1)^2-(2x)^2$ 進行因式分解，如下：
$4x^4+1=(2x^2+1)^2-(2x)^2$
$4x^4+1=(2x^2+1+2x)(2x^2+1-2x)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$。
(ii) 給定的表示式是 $4x^4+y^4$。
$4x^4+y^4$ 可以寫成：
$4x^4+y^4=4x^4+y^4+4x^2y^2-4x^2y^2$ (加減 $4x^2y^2$)
$4x^4+y^4=(2x^2)^2+(y^2)^2+2(2x^2)(y^2)-4x^2y^2$ [因為 $4x^4=(2x^2)^2, y^4=(y^2)^2$ 且 $4x^2y^2=2(2x^2)(y^2)$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=2x^2$ 且 $n=y^2$
所以，
$4x^4+y^4=(2x^2)^2+(y^2)^2+2(2x^2)(y^2)-4x^2y^2$
$4x^4+y^4=(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2$
現在，
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2$ 可以寫成，
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$ [因為 $4x^2y^2=(2xy)^2$]
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對 $(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$ 進行因式分解，如下：
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy)$。
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