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法律研究對下列代數式進行因式分解
(i) $x^2+12x-45$
(ii) $40+3x-x^2$
已知
給定的表示式為
(i) $x^2+12x-45$
(ii) $40+3x-x^2$
要求
我們需要對給定的代數式進行因式分解。
解答
代數式的因式分解
對代數式進行因式分解意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數式寫成質因式的乘積時，我們說這個代數式被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式為 $x^2+12x-45$。
我們可以透過拆分中間項對給定的表示式進行因式分解。拆分中間項意味著我們需要將中間項重寫為兩個項的和或差。
$x^2+12x-45$ 可以寫成：
$x^2+12x-45=x^2+15x-3x-45$ [因為 $12x=15x-3x$ 且 $x^2 \times (-45)=15x \times (-3x) =-45x^2$]
$x^2+12x-45=x(x+15)-3(x+15)$
$x^2+12x-45=(x+15)(x-3)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+15)(x-3)$。
(ii) 給定的表示式為 $40+3x-x^2$。
我們可以透過拆分中間項對給定的表示式進行因式分解。拆分中間項意味著我們需要將中間項重寫為兩個項的和或差。
$40+3x-x^2$ 可以寫成：
$40+3x-x^2=-(x^2-3x-40)$
$40+3x-x^2=-(x^2+5x-8x-40)$ [因為 $-3x=5x-8x$ 且 $x^2 \times (-40)=5x \times (-8x) =-40x^2$]
$40+3x-x^2=-[x(x+5)-8(x+5)]$
$40+3x-x^2=-[(x+5)(x-8)]$
$40+3x-x^2=(x+5)(8-x)$ [因為 $-(x-8)=-x+8=8-x$]
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+5)(8-x)$。
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