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法律研究對下列代數式進行因式分解
(i) $16-a^6+4a^3b^3-4b^6$
(ii) $a^2-2ab+b^2-c^2$
(iii) $x^2+2x+1-9y^2$
已知
給定的表示式為
(i) $16-a^6+4a^3b^3-4b^6$。
(ii) $a^2-2ab+b^2-c^2$
(iii) $x^2+2x+1-9y^2$
要求
我們需要對給定的代數式進行因式分解。
解答
代數式的因式分解
對代數式進行因式分解意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數式寫成質因式的乘積時，它就被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式是 $16-a^6+4a^3b^3-4b^6$。
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6$ 可以寫成，
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=16-[(a^3)^2-2(a^3)(2b^3)+(2b^3)^2$
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=4^2-[(a^3)^2-2(a^3)(2b^3)+(2b^3)^2]$ [因為 $16=4^2, a^6=(a^3)^2, 4b^6=(2b^3)^2$ 且 $4a^3b^3=2(a^3)(2b^3)$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。所以，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=a^3$ 且 $n=2b^3$
因此，
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=4^2-[(a^3)^2-2(a^3)(2b^3)+(2b^2)^3]$
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=4^2-(a^3-2b^3)^2$
現在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對 $4^2-(a^3-2b^3)^2$ 進行因式分解為，
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=4^2-(a^3-2b^3)^2$
$16-a^6+4a^3b^3-4b^6=(4+a^3-2b^3)(4-a^3+2b^3)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(4+a^3-2b^3)(4-a^3+2b^3)$。
(ii) 給定的表示式是 $a^2-2ab+b^2-c^2$。
$a^2-2ab+b^2-c^2$ 可以寫成，
$a^2-2ab+b^2-c^2=[(a)^2-2(a)(b)+(b)^2]-c^2$
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。所以，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=a$ 且 $n=b$
因此，
$a^2-2ab+b^2-c^2=[(a)^2-2(a)(b)+(b^2)]-c^2$
$a^2-2ab+b^2-c^2=(a-b)^2-c^2$
現在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對 $(a-b)^2-c^2$ 進行因式分解為，
$a^2-2ab+b^2-c^2=(a-b)^2-c^2$
$a^2-2ab+b^2-c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a-b+c)(a-b-c)$。
(iii) 給定的表示式是 $x^2+2x+1-9y^2$。
$x^2+2x+1-9y^2$ 可以寫成，
$x^2+2x+1-9y^2=[(x)^2+2(x)(1)+(1)^2]-(3y)^2$ [因為 $9y^2=(3y)^2$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。所以，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=x$ 且 $n=1$
因此，
$x^2+2x+1-9y^2=[(x)^2+2(x)(1)+(1)^2]-(3y)^2$
$x^2+2x+1-9y^2=(x+1)^2-(3y)^2$
現在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以對 $(x+1)^2-(3y)^2$ 進行因式分解為，
$x^2+2x+1-9y^2=(x+1)^2-(3y)^2$
$x^2+2x+1-9y^2=(x+1+3y)(x+1-3y)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+1+3y)(x+1-3y)$。
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