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法律研究因式分解下列代數式
(i) $25x^2-10x+1-36y^2$
(ii) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(iii) $a^2+2ab+b^2-c^2$
已知
給定的表示式是
(i) $25x^2-10x+1-36y^2$
(ii) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(iii) $a^2+2ab+b^2-c^2$
要求
我們必須對給定的代數表示式進行因式分解。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因式的乘積時，它就完全因式分解了。
(i) 給定的表示式是 $25x^2-10x+1-36y^2$。
$25x^2-10x+1-36y^2$ 可以寫成：
$25x^2-10x+1-36y^2=[(5x)^2-2(5x)(1)+(1)^2]-(6y)^2$ [因為 $25x^2=(5x)^2, 10x=2(5x)(1)$ 和 $36y^2=(6y)^2$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=5x$ 和 $n=1$
因此：
$25x^2-10x+1-36y^2=[(5x)^2-2(5x)(1)+(1)^2]-(6y)^2$
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1)^2-(6y)^2$
現在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $(5x-1)^2-(6y)^2$ 因式分解為：
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1)^2-(6y)^2$
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1+6y)(5x-1-6y)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(5x+6y-1)(5x-6y-1)$。
(ii) 給定的表示式是 $a^2-b^2+2bc-c^2$。
$a^2-b^2+2bc-c^2$ 可以寫成：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-[b^2-2(b)(c)+(c)^2]$
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=b$ 和 $n=c$
因此：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-[b^2-2(b)(c)+(c)^2]$
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b-c)^2$
現在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $a^2-(b-c)^2$ 因式分解為：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b-c)^2$
$a^2-b^2+2bc-c^2=(a+b-c)(a-b+c)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a+b-c)(a-b+c)$。
(iii) 給定的表示式是 $a^2+2ab+b^2-c^2$。
$a^2+2ab+b^2-c^2$ 可以寫成：
$a^2+2ab+b^2-c^2=[(a)^2+2(a)(b)+(b)^2]-(c)^2$
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=a$ 和 $n=b$
因此：
$a^2+2ab+b^2-c^2=[(a)^2+2(a)(b)+(b)^2]-(c)^2$
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-(c)^2$
現在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $(a+b)^2-(c)^2$ 因式分解為：
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-(c)^2$
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a+b+c)(a+b-c)$。
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