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法律研究對下列代數式進行因式分解
(i) $a^2-8ab+16b^2-25c^2$
(ii) $x^2-y^2+6y-9$
已知
給定的表示式為
(i) $a^2-8ab+16b^2-25c^2$
(ii) $x^2-y^2+6y-9$
要求
我們必須對給定的代數式進行因式分解。
解答
代數式的因式分解
對代數式進行因式分解意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數式被寫成素因式的乘積時，它就被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式為 $a^2-8ab+16b^2-25c^2$。
$a^2-8ab+16b^2-25c^2$ 可以寫成：
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]-(5c)^2$ [因為 $8ab=2(a)(4b), 16b^2=(4b)^2$ 且 $25c^2=(5c)^2$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 形式的。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=a$ 且 $n=4b$
因此，
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]-(5c)^2$
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b)^2-(5c)^2$
現在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $(a-4b)^2-(5c)^2$ 因式分解為：
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b)^2-(5c)^2$
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b+5c)(a-4b-5c)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a-4b+5c)(a-4b-5c)$。
(ii) 給定的表示式為 $x^2-y^2+6y-9$。
$x^2-y^2+6y-9$ 可以寫成：
$x^2-y^2+6y-9=x^2-[(y)^2-2(y)(3)+(3)^2]$
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 形式的。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡，
$m=y$ 且 $n=3$
因此，
$x^2-y^2+6y-9=x^2-[(y)^2-2(y)(3)+(3)^2]$
$x^2-y^2+6y-9=x^2-(y-3)^2$
現在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $x^2-(y-3)^2$ 因式分解為：
$x^2-y^2+6y-9=x^2-(y-3)^2$
$x^2-y^2+6y-9=(x+y-3)(x-y+3)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+y-3)(x-y+3)$。
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