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法學對下列代數式進行因式分解
(i) $49-x^2-y^2+2xy$
(ii) $a^2+4b^2-4ab-4c^2$
(iii) $x^2-y^2-4xz+4z^2$
已知
已知表示式為
(i) $49-x^2-y^2+2xy$
(ii) $a^2+4b^2-4ab-4c^2$
(iii) $x^2-y^2-4xz+4z^2$
要求
我們必須對給定的代數表示式進行因式分解。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解意味著將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
(i) 給定的表示式是 $49-x^2-y^2+2xy$。
$49-x^2-y^2+2xy$ 可以寫成：
$49-x^2-y^2+2xy=49-(x^2+y^2-2xy)$
$49-x^2-y^2+2xy=7^2-[(x)^2-2(x)(y)+(y)^2]$ [因為 $49=7^2$ 且 $2xy=2(x)(y)$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，使用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=x$ 且 $n=y$
因此：
$49-x^2-y^2+2xy=7^2-[(x)^2-2(x)(y)+(y)^2]$
$49-x^2-y^2+2xy=7^2-(x-y)^2$
現在：
使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $7^2-(x-y)^2$ 因式分解為：
$49-x^2-y^2+2xy=7^2-(x-y)^2$
$49-x^2-y^2+2xy=(7+x-y)(7-x+y)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x-y+7)(-x+y+7)$。
(ii) 給定的表示式是 $a^2+4b^2-4ab-4c^2$。
$a^2+4b^2-4ab-4c^2$ 可以寫成：
$a^2+4b^2-4ab-4c^2=[(a)^2-2(a)(2b)+(2b)^2]-(2c)^2$ [因為 $4b^2=(2b)^2$, $4ab=2(a)(2b)$ 且 $4c^2=(2c)^2$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，使用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=a$ 且 $n=2b$
因此：
$a^2+4b^2-4ab-4c^2=[(a)^2-2(a)(2b)+(2b)^2]-(2c)^2$
$a^2+4b^2-4ab-4c^2=(a-2b)^2-(2c)^2$
現在：
使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $(a-2b)^2-(2c)^2$ 因式分解為：
$a^2+4b^2-4ab-4c^2=(a-2b)^2-(2c)^2$
$a^2+4b^2-4ab-4c^2=(a-2b+2c)(a-2b-2c)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a-2b+2c)(a-2b-2c)$。
(iii) 給定的表示式是 $x^2-y^2-4xz+4z^2$。
$x^2-y^2-4xz+4z^2$ 可以寫成：
$x^2-y^2-4xz+4z^2=[(x)^2-2(x)(2z)+(2z)^2]-(y)^2$ [因為 $4xz=2(x)(2z)$ 且 $4z^2=(2z)^2$]
這裡，我們可以觀察到給定的表示式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，使用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我們可以對給定的表示式進行因式分解。
這裡：
$m=x$ 且 $n=2z$
因此：
$x^2-y^2-4xz+4z^2=[(x)^2-2(x)(2z)+(2z)^2]-(y)^2$
$x^2-y^2-4xz+4z^2=(x-2z)^2-(y)^2$
現在：
使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我們可以將 $(x-2z)^2-(y)^2$ 因式分解為：
$x^2-y^2-4xz+4z^2=(x-2z)^2-(y)^2$
$x^2-y^2-4xz+4z^2=(x-2z+y)(x-2z-y)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+y-2z)(x-y-2z)$。
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