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法律研究使用適當的恆等式因式分解下列式子
(i) \( 9 x^{2}+6 x y+y^{2} \)
(ii) \( 4 y^{2}-4 y+1 \)
(iii) \( x^{2}-\frac{y^{2}}{100} \)
需要做的事情
我們必須使用適當的恆等式對給定的表示式進行因式分解。
解答
(i) \( 9 x^{2}+6 x y+y^{2} \)
\( 9 x^{2}+6 x y+y^{2} \) 可以寫成：
$9 x^{2}+6 x y+y^{2}=(3x)^2+2\times(3x)\times(y)+(y)^2$
使用恆等式 $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
這裡：
$a = 3x$ 且 $b = y$
因此：
$9x^2+6xy+y^2 = (3x)^2+2(3x)(y)+y^2$
$= (3x+y)^2$
$= (3x+y)(3x+y)$
(ii) \( 4 y^{2}-4 y+1 \)
\( 4 y^{2}-4 y+1 \) 可以寫成：
$4 y^{2}-4 y+1=(2y)^2+2\times(2y)\times(-1)+(-1)^2$
使用恆等式 $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$
這裡：
$a = 2y$ 且 $b = -1$
因此：
$4y^2-4y+1 = (2y)^2-2(2y)(1)+(-1)^2$
$= (2y-1)^2$
$= (2y-1)(2y-1)$
(iii) \( x^{2}-\frac{y^{2}}{100} \)
\( x^{2}-\frac{y^{2}}{100} \) 可以寫成：
$x^{2}-\frac{y^{2}}{100}=(x)^2-(\frac{y}{10})^2$
使用恆等式 $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
這裡：
$a = x$ 且 $b = \frac{y}{10}$
因此：
$x^{2}-\frac{y^{2}}{100} = (x)^2-(\frac{y}{10})^2$
$=(x+\frac{y}{10})(x-\frac{y}{10})$
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