解下列方程組
$\frac{10}{x+y} +\frac{2}{x-y}=4$
$\frac{15}{x+y}-\frac{9}{x-y}=-2$

已知

給定的方程組為

$\frac{10}{x+y} +\frac{2}{x-y}=4$

$\frac{15}{x+y}-\frac{9}{x-y}=-2$

要求

我們需要解給定的方程組。

解答

令 $\frac{1}{x+y}=u$ 和 $\frac{1}{x-y}=v$

這意味著，給定的方程組可以寫成：

$\frac{10}{x+y} +\frac{2}{x-y}=4$

$10u+2v=4$

$10u+2v-4=0$---(i)

$\frac{15}{x+y}-\frac{9}{x-y}=-2$

$15u-9v=-2$

$15u=9v-2$

$u=\frac{9v-2}{15}$---(ii)

將 $u=\frac{9v-2}{15}$ 代入方程 (i)，得到：

$10(\frac{9v-2}{15})+2v-4=0$

$\frac{2(9v-2)}{3}=4-2v$

$18v-4=3(4-2v)$

$18v-4=12-6v$

$18v+6v=12+4$

$24v=16$

$v=\frac{16}{24}$

$v=\frac{2}{3}$

使用 $v=\frac{2}{3}$ 代入方程 (i)，得到：

$10u+2(\frac{2}{3})-4=0$

$10u+\frac{4}{3}-4=0$

$10u+\frac{4-4\times3}{3}=0$

$10u+\frac{-8}{3}=0$

$10u=\frac{8}{3}$

$u=\frac{8}{3\times10}$

$u=\frac{4}{15}$

使用 $u$ 和 $v$ 的值，得到：

$\frac{1}{x+y}=\frac{4}{15}$

$\Rightarrow x+y=\frac{15}{4}$....(iii)

$\frac{1}{x-y}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow x-y=\frac{3}{2}$.....(iv)

將方程 (iii) 和 (iv) 相加，得到：

$x+y+x-y=\frac{15}{4}+\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2x=\frac{15+2\times3}{4}$

$\Rightarrow 2x=\frac{21}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{21}{8}$

將 $x$ 的值代入 (iii)，得到：

$\frac{21}{8}+y=\frac{15}{4}$

$\Rightarrow y=\frac{15}{4}-\frac{21}{8}$

$\Rightarrow y=\frac{15\times2-21}{8}$

$\Rightarrow y=\frac{9}{8}$

因此，給定方程組的解為 $x=\frac{21}{8}$ 和 $y=\frac{9}{8}$。 

教程點

更新於： 2022 年 10 月 10 日

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