解下列方程組
$\frac{3}{x+y} +\frac{2}{x-y}=2$
$\frac{9}{x+y}-\frac{4}{x-y}=1$

已知

已知方程組為

$\frac{3}{x+y} +\frac{2}{x-y}=2$

$\frac{9}{x+y}-\frac{4}{x-y}=1$

解題步驟

我們需要解這個方程組。

解答

令 $\frac{1}{x+y}=u$ 和 $\frac{1}{x-y}=v$

這意味著，給定的方程組可以寫成：

$\frac{3}{x+y} +\frac{2}{x-y}=2$

$3u+2v=2$

$3u+2v-2=0$---(i)

$\frac{9}{x+y}-\frac{4}{x-y}=1$

$9u-4v=1$

$9u=1+4v$

$u=\frac{1+4v}{9}$---(ii)

將 $u=\frac{1+4v}{9}$ 代入方程 (i)，得到：

$3(\frac{1+4v}{9})+2v-2=0$

$\frac{1+4v}{3}=2-2v$

$1+4v=3(2-2v)$

$1+4v=6-6v$

$6v+4v=6-1$

$10v=5$

$v=\frac{5}{10}$

$v=\frac{1}{2}$

將 $v=\frac{1}{2}$ 代入方程 (i)，得到：

$3u+2(\frac{1}{2})-2=0$

$3u+1-2=0$

$3u-1=0$

$3u=1$

$u=\frac{1}{3}$

利用 u 和 v 的值，得到：

$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow x+y=3$.....(iii)

$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x-y=2$.....(iv)

將方程 (iii) 和 (iv) 相加，得到：

$x+y+x-y=3+2$

$2x=5$

$x=\frac{5}{2}$

將 x 的值代入 (iv)，得到：

$\frac{5}{2}-y=2$

$y=\frac{5}{2}-2$

$y=\frac{5-2\times2}{2}$

$y=\frac{1}{2}$

因此，該方程組的解為 $x=\frac{5}{2}$ 和 $y=\frac{1}{2}$。   

教程點

更新於：2022年10月10日

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