因式分解
(i) \( 12 x^{2}-7 x+1 \)
(ii) \( 2 x^{2}+7 x+3 \)
(iii) \( 6 x^{2}+5 x-6 \)
(iv) \( 3 x^{2}-x-4 \)
解題步驟
我們需要對給定的表示式進行因式分解。
解答
我們可以使用拆分中間項的方法找到給定表示式的因式分解。
(i) \( 12 x^{2}-7 x+1 \)
我們需要找到兩個數，它們的和為 -7，積為 \(1\times12 = 12\)
這裡，\((-3)+(-4)=-7\) 且 \((-3)\times(-4)=12\)。
因此，
我們得到 -3 和 -4 作為這兩個數。
\(12x^2-7x+1=12x^2-4x-3x+1\)
\(=4x(3x-1)-1(3x-1)\)
\(=(3x-1)(4x-1)\)
因此，\(12x^2-7x+1\) 的因式為 \((3x-1)\) 和 \((4x-1)\)。(ii) \( 2 x^{2}+7 x+3 \)
我們需要找到兩個數，它們的和為 7，積為 \(2\times3 = 6\)
這裡，\(6+1=7\) 且 \(6\times1=6\)。
因此，
我們得到 6 和 1 作為這兩個數。
\(2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3\)
\(=2x(x+3)+1(x+3)\)
\(=(x+3)(2x+1)\)
因此，\(2x^2+7x+3\) 的因式為 \((x+3)\) 和 \((2x+1)\)。
(iii) \( 6 x^{2}+5 x-6 \)
我們需要找到兩個數，它們的和為 5，積為 \(6\times(-6) = -36\)
這裡，\(9+(-4)=9-4=5\) 且 \(9\times(-4)=-36\)。
因此，
我們得到 9 和 -4 作為這兩個數。
\(6x^2+5x-6=6x^2+9x-4x-6\)
\(=3x(2x+3)-2(2x+3)\)
\(=(2x+3)(3x-2)\)
因此，\(6x^2+5x-6\) 的因式為 \((2x+3)\) 和 \((3x-2)\)。
(iv) \( 3 x^{2}-x-4 \)
我們需要找到兩個數，它們的和為 -1，積為 \(3\times(-4) = -12\)
這裡，\((-4)+3=-1\) 且 \((-4)\times3=-12\)。
因此，
我們得到 -4 和 3 作為這兩個數。
\(3x^2-x-4=3x^2-4x+3x-4\)
\(=x(3x-4)+1(3x-4)\)
\(=(3x-4)(x+1)\)
因此，\(3x^2-x-4\) 的因式為 \((3x-4)\) 和 \((x+1)\)。
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