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法律研究將下列每個二次三項式分解因式
(i) $36a^2+12abc-15b^2c^2$
(ii) $15x^2-16xyz-15y^2z^2$
已知
給定的二次三項式是
(i) $36a^2+12abc-15b^2c^2$
(ii) $15x^2-16xyz-15y^2z^2$
要求
我們必須分解給定的二次三項式。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因式的乘積時，它就被完全分解了。
(i) 給定的表示式是 $36a^2+12abc-15b^2c^2$。
我們可以透過拆分中間項來分解給定的表示式。拆分中間項意味著我們必須將中間項改寫成兩個項的和或差。
這裡：
$a^2$ 的係數是 $36$
$a$ 的係數是 $12bc$
常數項是 $-15b^2c^2$
$36a^2+12abc-15b^2c^2$ 可以寫成：
$36a^2+12abc-15b^2c^2=36a^2+30abc-18abc-15b^2c^2$ [因為 $12abc=30abc-18abc$ 且 $36a^2 \times (-15b^2c^2)=30abc \times (-18abc)=-540a^2b^2c^2$]
$36a^2+12abc-15b^2c^2=6a(6a+5bc)-3bc(6a+5bc)$
$36a^2+12abc-15b^2c^2=(6a-3bc)(6a+5bc)$
$36a^2+12abc-15b^2c^2=2(3a-bc)(6a+5bc)$ (提取公因數 2)
因此，給定的表示式可以分解為 $2(3a-bc)(6a+5bc)$。
(ii) 給定的表示式是 $15x^2-16xyz-15y^2z^2$。
我們可以透過拆分中間項來分解給定的表示式。拆分中間項意味著我們必須將中間項改寫成兩個項的和或差。
這裡：
$x^2$ 的係數是 $15$
$x$ 的係數是 $-16yz$
常數項是 $-15y^2z^2$
$15x^2-16xyz-15y^2z^2$ 可以寫成：
$15x^2-16xyz-15y^2z^2=15x^2-25xyz+9xyz-15y^2z^2$ [因為 $-16xyz=-25xyz+9xyz$ 且 $15x^2 \times (-15y^2z^2)=-25xyz \times 9xyz =-225x^2y^2z^2$]
$15x^2-16xyz-15y^2z^2=5x(3x-5yz)+3yz(3x-5yz)$
$15x^2-16xyz-15y^2z^2=(5x+3yz)(3x-5yz)$
因此，給定的表示式可以分解為 $(5x+3yz)(3x-5yz)$。
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