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法律研究利用配方法分解下列每個二次多項式
(i) $p^2+6p+8$
(ii) $q^2-10q+21$
已知
給定的二次多項式為
(i) $p^2+6p+8$
(ii) $q^2-10q+21$
要求
我們必須分解給定的二次多項式。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因數的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全分解了。
配方法是一種將二次表示式寫成包含完全平方項的形式的方法。
(i) 給定的表示式為 $p^2+6p+8$。
這裡，
$p^2$ 的係數為 $1$
$p$ 的係數為 $6$
常數項為 $8$
$p^2$ 的係數為 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $p$ 係數一半的平方來分解給定的表示式。
因此，
$p^2+6p+8=p^2+6p+8+3^2-3^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times6=3$]
$p^2+6p+8=p^2+6p+3^2+8-9$
$p^2+6p+8=p^2+2(p)(3)+3^2-1$
$p^2+6p+8=(p+3)^2-1$ (配方法)
現在，
$(p+3)^2-1$ 可以寫成，
$(p+3)^2-1=(p+3)^2-1^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定的表示式分解為，
$(p+3)^2-1=(p+3)^2-1^2$
$(p+3)^2-1=(p+3+1)(p+3-1)$
$(p+3)^2-1=(p+4)(p+2)$
因此，給定的表示式可以分解為 $(p+2)(p+4)$。
(ii) 給定的表示式為 $q^2-10q+21$。
這裡，
$q^2$ 的係數為 $1$
$q$ 的係數為 $-10$
常數項為 $21$
$q^2$ 的係數為 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $q$ 係數一半的平方來分解給定的表示式。
因此，
$q^2-10q+21=q^2-10q+21+5^2-5^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times10=5$]
$q^2-10q+21=q^2-10q+5^2+21-25$
$q^2-10q+21=q^2-2(q)(5)+5^2-4$
$q^2-10q+21=(q-5)^2-4$ (配方法)
現在，
$(q-5)^2-4$ 可以寫成，
$(q-5)^2-4=(q-5)^2-2^2$ [因為 $4=2^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定的表示式分解為，
$(q-5)^2-4=(q-5)^2-2^2$
$(q-5)^2-4=(q-5+2)(q-5-2)$
$(q-5)^2-4=(q-3)(q-7)$
因此，給定的表示式可以分解為 $(q-7)(q-3)$。
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