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法律研究使用配方法因式分解下列每個二次多項式
(i) $x^2+12x+20$
(ii) $a^2-14a-51$
已知
給定的二次多項式為
(i) $x^2+12x+20$
(ii) $a^2-14a-51$
要求
我們必須對給定的二次多項式進行因式分解。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
配方法是一種將二次表示式寫成包含完全平方式的方法。
(i) 給定的表示式是 $x^2+12x+20$。
這裡：
$x^2$ 的係數是 $1$
$x$ 的係數是 $12$
常數項是 $20$
$x^2$ 的係數是 $1$。因此，我們可以透過加減 $x$ 係數一半的平方來分解給定的表示式。
因此：
$x^2+12x+20=x^2+12x+20+6^2-6^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times12=6$]
$x^2+12x+20=x^2+12x+6^2+20-36$
$x^2+12x+20=x^2+2(x)(6)+6^2-16$
$x^2+12x+20=(x+6)^2-16$ (配方法)
現在：
$(x+6)^2-16$ 可以寫成：
$(x+6)^2-16=(x+6)^2-4^2$ [因為 $16=4^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定的表示式因式分解為：
$(x+6)^2-16=(x+6)^2-4^2$
$(x+6)^2-16=(x+6+4)(x+6-4)$
$(x+6)^2-16=(x+10)(x+2)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(x+2)(x+10)$。
(ii) 給定的表示式是 $a^2-14a-51$。
這裡：
$a^2$ 的係數是 $1$
$a$ 的係數是 $-14$
常數項是 $-51$
$a^2$ 的係數是 $1$。因此，我們可以透過加減 $a$ 係數一半的平方來分解給定的表示式。
因此：
$a^2-14a-51=a^2-14a-51+7^2-7^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times14=7$]
$a^2-14a-51=a^2-14a+7^2-51-49$
$a^2-14a-51=a^2-2(a)(7)+7^2-100$
$a^2-14a-51=(a-7)^2-100$ (配方法)
現在：
$(a-7)^2-100$ 可以寫成：
$(a-7)^2-100=(a-7)^2-10^2$ [因為 $100=10^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定的表示式因式分解為：
$(a-7)^2-100=(a-7)^2-10^2$
$(a-7)^2-100=(a-7+10)(a-7-10)$
$(a-7)^2-100=(a+3)(a-17)$
因此，給定的表示式可以因式分解為 $(a-17)(a+3)$。
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