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法律研究利用配方法因式分解下列每個二次多項式
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $4x^2-12x+5$
已知
給定的二次多項式為
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $4x^2-12x+5$
要求
我們必須對給定的二次多項式進行因式分解。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
配方法是一種用於將二次表示式寫成包含完全平方的形式的方法。
(i) 給定的表示式是 $a^2+2a-3$。
這裡，
$a^2$ 的係數為 $1$
$a$ 的係數為 $2$
常數項為 $-3$
$a^2$ 的係數為 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $a$ 係數一半的平方來對給定表示式進行因式分解。
因此，
$a^2+2a-3=a^2+2a-3+1^2-1^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times2=1$]
$a^2+2a-3=a^2+2a+1^2-3-1$
$a^2+2a-3=a^2+2(a)(1)+1^2-4$
$a^2+2a-3=(a+1)^2-4$ (配方法)
現在，
$(a+1)^2-4$ 可以寫成，
$(a+1)^2-4=(a+1)^2-2^2$ [因為 $4=2^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定表示式因式分解為，
$(a+1)^2-4=(a+1)^2-2^2$
$(a+1)^2-4=(a+1+2)(a+1-2)$
$(a+1)^2-4=(a+3)(a-1)$
因此，給定表示式可以因式分解為 $(a-1)(a+3)$。
(ii) 給定的表示式是 $4x^2-12x+5$。
我們可以將 $4x^2-12x+5$ 寫成，
$4x^2-12x+5=4(x^2-3x+\frac{5}{4})$
這裡，
$x^2$ 的係數為 $1$
$x$ 的係數為 $-3$
常數項為 $\frac{5}{4}$
$x^2$ 的係數為 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $x$ 係數一半的平方來對給定表示式進行因式分解。
因此，
$4x^2-12x+5=4(x^2-3x+\frac{5}{4})$
$4x^2-12x+5=4[x^2-3x+\frac{5}{4}+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2]$ [因為 $\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{2}$]
$4x^2-12x+5=4[x^2-3x+(\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}-\frac{9}{4}]$
$4x^2-12x+5=4[x^2-2(x)(\frac{3}{2})+(\frac{3}{2})^2+\frac{5-9}{4}]$
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2+\frac{-4}{4}]$ (配方法)
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2-1]$
現在，
$(x-\frac{3}{2})^2-1$ 可以寫成，
$(x-\frac{3}{2})^2-1=(x-\frac{3}{2})^2-1^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定表示式因式分解為，
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2-1^2]$
$4x^2+12y+5=4[(x-\frac{3}{2}+1)(x-\frac{3}{2}-1)]$
$4x^2-12x+5=4[(x+\frac{-3+2}{2})(x+\frac{-3-2}{2})]$
$4x^2-12x+5=4[(x+\frac{-1}{2})(x+\frac{-5}{2})]$
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=2(x-\frac{1}{2})2(x-\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=(2x-2\times\frac{1}{2})(2x-2\times\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=(2x-1)(2x-5)]$
因此，給定表示式可以因式分解為 $(2x-5)(2x-1)$。
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