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法學使用配方法因式分解下列每個二次多項式
(i) $y^2-7y+12$
(ii) $z^2-4z-12$
已知
給定的二次多項式為
(i) $y^2-7y+12$
(ii) $z^2-4z-12$
要求
我們必須對給定的二次多項式進行因式分解。
解答
代數表示式的因式分解
代數表示式的因式分解是指將表示式寫成兩個或多個因式的乘積。因式分解是分配律的逆運算。
當一個代數表示式寫成質因數的乘積時，它就被完全因式分解了。
配方法是一種用於將二次表示式寫成包含完全平方式的方法。
(i) 給定的表示式是 $y^2-7y+12$。
這裡：
$y^2$ 的係數是 $1$
$y$ 的係數是 $-7$
常數項是 $12$
$y^2$ 的係數是 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $y$ 係數一半的平方來對給定表示式進行因式分解。
因此：
$y^2-7y+12=y^2-7y+12+(\frac{7}{2})^2-(\frac{7}{2})^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times7=\frac{7}{2}$]
$y^2-7y+12=y^2-2(y)(\frac{7}{2})+(\frac{7}{2})^2+12-(\frac{7}{2})^2$
$y^2-7y+12=(y-\frac{7}{2})^2+12-\frac{49}{4}$ (配方法)
$y^2-7y+12=(y-\frac{7}{2})^2+\frac{12\times4-49}{4}$
$y^2-7y+12=(y-\frac{7}{2})^2+\frac{48-49}{4}$
$y^2-7y+12=(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}$
現在：
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}$ 可以寫成：
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y-\frac{7}{2})^2-(\frac{1}{2})^2$ [因為 $\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定表示式因式分解為：
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y-\frac{7}{2})^2-(\frac{1}{2})^2$
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y-\frac{7}{2}+\frac{1}{2})(y-\frac{7}{2}-\frac{1}{2})$
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y+\frac{-7+1}{2})(y-\frac{7+1}{2})$
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y+\frac{-6}{2})(y-\frac{8}{2})$
$(y-\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}=(y-3)(y-4)$
因此，給定表示式可以因式分解為 $(y-4)(y-3)$。
(ii) 給定的表示式是 $z^2-4z-12$。
這裡：
$z^2$ 的係數是 $1$
$z$ 的係數是 $-4$
常數項是 $-12$
$z^2$ 的係數是 $1$。因此，我們可以透過新增和減去 $z$ 係數一半的平方來對給定表示式進行因式分解。
因此：
$z^2-4z-12=z^2-4z-12+2^2-2^2$ [因為 $\frac{1}{2}\times4=2$]
$z^2-4z-12=z^2-4z+2^2-12-4$
$z^2-4z-12=z^2-2(z)(2)+2^2-16$
$z^2-4z-12=(z-2)^2-16$ &(配方法)
現在：
$(z-2)^2-16$ 可以寫成：
$(z-2)^2-16=(z-2)^2-4^2$ [因為 $16=4^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我們可以將給定表示式因式分解為：
$(z-2)^2-16=(z-2)^2-4^2$
$(z-2)^2-16=(z-2+4)(z-2-4)$
$(z-2)^2-16=(z+2)(z-6)$
因此，給定表示式可以因式分解為 $(z-6)(z+2)$。
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