除法
(i) $x+2x^2+3x^4-x^5$ 除以 $2x$
(ii) $y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2}$ 除以 $3y$
(iii) $-4a^3+4a^2+a$ 除以 $2a$

已知

給定的表示式為

(i) $x+2x^2+3x^4-x^5$ 除以 $2x$

(ii) $y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2}$ 除以 $3y$

(iii) $-4a^3+4a^2+a$ 除以 $2a$

要求

我們需要進行給定表示式的除法運算。

解答

我們需要使用公式 $x^a \div x^b=a^{a-b}$ 來進行給定多項式除以單項式的運算

多項式：

多項式是指每個項都是一個常數乘以一個變數的整數次冪的表示式。

單項式

單項式是指僅包含一個由常數和變數的乘積組成的項，且變數的指數是非負整數的表示式。

因此，

(i) 給定的表示式是 $x+2x^2+3x^4-x^5$ 除以 $2x$。

$x+2x^2+3x^4-x^5 \div 2x=\frac{x}{2x}+\frac{2x^2}{2x}+\frac{3x^4}{2x}-\frac{x^5}{2x}$

$x+2x^2+3x^4-x^5 \div 2x=\frac{1}{2}+x^{2-1}+\frac{3}{2}x^{4-1}-\frac{1}{2}x^{5-1}$

$x+2x^2+3x^4-x^5 \div 2x=\frac{1}{2}+x^{1}+\frac{3}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}$

$x+2x^2+3x^4-x^5 \div 2x=\frac{1}{2}+x+\frac{3}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}$

因此，$x+2x^2+3x^4-x^5$ 除以 $2x$ 的結果為 $\frac{1}{2}+x+\frac{3}{2}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}$。

(ii) 給定的表示式是 $y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2}$ 除以 $3y$。

$y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2} \div 3y=\frac{y^4}{3y}-\frac{3y^3}{3y}+\frac{\frac{1}{2}y^2}{3y}$

$y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2} \div 3y=\frac{1}{3}y^{4-1}-y^{3-1}+\frac{1}{2\times3}y^{2-1}$

$y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2} \div 3y=\frac{1}{3}y^{3}-y^{2}+\frac{1}{6}y$

因此，$y^4-3y^3+\frac{1}{2y^2}$ 除以 $3y$ 的結果為 $\frac{1}{3}y^{3}-y^{2}+\frac{1}{6}y$。

(iii) 給定的表示式是 $-4a^3+4a^2+a$ 除以 $2a$。

$-4a^3+4a^2+a \div 2a=\frac{-4a^3}{2a}+\frac{4a^2}{2a}+\frac{a}{2a}$

$-4a^3+4a^2+a \div 2a=-2a^{3-1}+2a^{2-1}+\frac{1}{2}a^{1-1}$

$-4a^3+4a^2+a \div 2a=-2a^2+2a^1+\frac{1}{2}a^0$

$-4a^3+4a^2+a \div 2a=-2a^2+2a+\frac{1}{2}$              [因為 $a^0=1$]

因此，$-4a^3+4a^2+a$ 除以 $2a$ 的結果為 $-2a^2+2a+\frac{1}{2}$。

Akhileshwar Nani

更新於： 2023年4月13日

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