雷達系統 - 測距方程
雷達測距方程用於理論上計算目標的距離。本章將討論雷達測距方程的標準形式，然後討論雷達測距方程的兩種修正形式。
我們將從雷達測距方程的標準形式推匯出這些修正形式。現在，讓我們討論雷達測距方程標準形式的推導。
雷達測距方程的推導
雷達測距方程的標準形式也稱為雷達測距方程的簡化形式。現在，讓我們推匯出雷達測距方程的標準形式。
我們知道功率密度就是功率與面積之比。因此，距雷達距離為 R 處的功率密度 Pdi 可以用數學表示為：
$$P_{di}=\frac{P_t}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:公式\:1$$
其中：
Pt 是雷達發射機發射的功率上述功率密度對各向同性天線有效。通常，雷達使用定向天線。因此，定向天線產生的功率密度 Pdd 將為：
$$P_{dd}=\frac{P_tG}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:公式\:2$$
目標從接收到的輸入功率向不同方向輻射功率。反射回雷達的功率取決於其橫截面。因此，回波訊號在雷達處的功率密度 Pde 可以用數學表示為：
$$P_{de}=P_{dd}\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\:\:\:\:公式\:3$$ 將公式 2 代入公式 3。
$$P_{de}=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\:\:\:\:公式\:4$$
雷達接收到的功率 Pr 取決於接收天線的有效孔徑 Ae。
$$P_r=P_{de}A_e\:\:\:\:\:公式\:5$$
將公式 4 代入公式 5。
$$P_r=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )A_e$$
$$\Rightarrow P_r=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 R^4}$$
$$\Rightarrow R^4=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}$$
$$\Rightarrow R=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:6$$
雷達測距方程的標準形式
如果回波訊號的功率小於最小可檢測訊號的功率，則雷達無法檢測到目標，因為它超出了雷達距離的最大限值。
因此，可以說當接收到的回波訊號功率等於最小可檢測訊號功率時，目標距離為最大距離。將 R=RMax 和 Pr=Smin 代入公式 6，我們將得到以下方程：
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:7$$
公式 7 表示雷達測距方程的標準形式。使用上述方程，我們可以找到目標的最大距離。
雷達測距方程的修正形式
我們知道定向天線的增益 G 和有效孔徑 Ae 之間的以下關係。
$$G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\:\:\:\:\:公式\:8$$
將公式 8 代入公式 7。
$$R_{Max}=\left [ \frac{P_t\sigma A_e}{\left ( 4\pi \right )^2S_{min}}\left ( \frac{4\pi A_e}{\lambda^2} \right ) \right ]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:9$$
公式 9 表示雷達測距方程的修正形式。使用上述方程，我們可以找到目標的最大距離。
我們將從公式 8 得到有效孔徑 Ae 與定向天線增益 G 之間的以下關係。
$$A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}\:\:\:\:\:公式\:10$$
將公式 10 代入公式 7。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}(\frac{G\lambda^2}{4\pi})\right ]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG^2 \lambda^2 \sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:11$$
公式 11 表示雷達測距方程的另一種修正形式。使用上述方程，我們可以找到目標的最大距離。
注意 - 根據給定的資料，我們可以使用以下三個方程之一來找到目標的最大距離：
- 公式 7
- 公式 9
- 公式 11
例題
在上一節中，我們得到了雷達測距方程的標準形式和修正形式。現在，讓我們使用這些方程來解決一些問題。
問題 1
根據以下規格計算雷達的最大距離：
- 雷達發射的峰值功率，Pt=250KW
- 發射天線的增益，G=4000
- 接收天線的有效孔徑，Ae=4 m²
- 目標的雷達截面，σ=25 m²
- 最小可檢測訊號的功率，Smin=10-12W
解答
為了根據給定的規格計算雷達的最大距離，我們可以使用雷達測距方程的以下標準形式。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG \sigma A_e}{\left (4\pi \right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$
將所有給定的引數代入上述方程。
$$R_{Max}=\left [\frac{ \left ( 250\times 10^3 \right )\left ( 4000 \right )\left ( 25 \right )\left ( 4 \right )}{\left ( 4\pi \right )^2 \left ( 10^{-12} \right )} \right ]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=158\:KM$$
因此，根據給定的規格，雷達的最大距離為 158 公里。
問題 2
根據以下規格計算雷達的最大距離。
- 工作頻率，f=10GHz
- 雷達發射的峰值功率，Pt=400KW
- 接收天線的有效孔徑，Ae=5 m²
- 目標的雷達截面，σ=30 m²
- 最小可檢測訊號的功率，Smin=10-10W
解答
我們知道根據工作頻率 f 計算工作波長 λ 的以下公式。
$$\lambda =\frac{C}{f}$$
將 C=3×108m/sec 和 f=10GHz 代入上述方程。
$$\lambda =\frac{3\times 10^8}{10\times 10^9}$$
$$\Rightarrow \lambda=0.03m$$
因此，當工作頻率 f 為 10GHz 時，工作波長 λ 等於 0.03m。
為了根據給定的規格計算雷達的最大距離，我們可以使用雷達測距方程的以下修正形式。
$$R_{Max}=\left [\frac{P_t \sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$
將給定的引數代入上述方程。
$$R_{Max}=\left [ \frac{\left ( 400\times 10^3 \right )\left ( 30 \right )\left ( 5^2 \right )}{4\pi\left ( 0.003 \right )^2\left ( 10 \right )^{-10}} \right ]^{1/4}$$
$$\Rightarrow R_{Max}=128KM$$
因此，根據給定的規格，雷達的最大距離為 128 公里。