雷達系統 - 匹配濾波器接收機

如果濾波器的輸出以最大化其頻率響應中輸出峰值功率與平均噪聲功率之比的方式產生，則該濾波器稱為匹配濾波器。

這是一個重要的標準，在設計任何雷達接收機時都會考慮。在本章中，讓我們討論匹配濾波器的頻率響應函式和匹配濾波器的衝激響應。

匹配濾波器的頻率響應函式

匹配濾波器的頻率響應將與輸入訊號頻譜的複共軛成正比。數學上，我們可以將匹配濾波器的頻率響應函式 $H\left (f\right )$ 表示為：

$$H\left (f\right )=G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\:\:\:\:\:公式\:1$$

其中：

$G_a$ 是匹配濾波器的最大增益

$S\left (f\right )$ 是輸入訊號 $s\left (t\right )$ 的傅立葉變換

$S^\ast\left (f\right )$ 是 $S\left (f\right )$ 的複共軛

$t_1$ 是觀察到訊號最大的時刻

一般情況下，$G_a$ 的值取為1。將 $G_a=1$ 代入公式1，我們將得到以下公式：

$$H\left (f\right )=S^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\:\:\:\:\:公式\:2$$

匹配濾波器的頻率響應函式 $H\left (f\right )$ 的幅度為 $S^\ast\left (f\right )$，相位角為 $e^{-j2\pi ft_1}$，它隨頻率均勻變化。

匹配濾波器的衝激響應

在時域中，我們將透過對頻率響應函式 $H(f)$ 進行傅立葉逆變換得到匹配濾波器接收機的輸出 $h(t)$。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }H\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}df\:\:\:\:\:公式\:3$$

將公式1代入公式3。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }\lbrace G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi ft_1}\rbrace e^{j2\pi ft}df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS^\ast\left (f\right )e^{-j2\pi f\left (t_1-t\right )}df\:\:\:\:\:公式\:4$$

我們知道以下關係。

$$S^\ast\left (f\right )=S\left (-f\right )\:\:\:\:\:公式\:5$$

將公式5代入公式4。

$$h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS(-f)e^{-j2\pi f\left (t_1-t\right )}df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=\int_{-\infty }^{\infty }G_aS^\left (f\right )e^{j2\pi f\left (t_1-t\right )}df$$

$$\Rightarrow h\left (t\right )=G_as(t_1−t)\:\:\:\:\:公式\:6$$

一般情況下，$G_a$ 的值取為1。將 $G_a=1$ 代入公式6，我們將得到以下公式：

$$h(t)=s\left (t_1-t\right )$$

上述公式證明了匹配濾波器的衝激響應是接收訊號關於時刻 $t_1$ 的映象。下圖說明了這個概念。

上圖顯示了接收訊號 $s\left (t\right )$ 和與訊號 $s\left (t\right )$ 相對應的匹配濾波器的衝激響應 $h\left (t\right )$。