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法學證明兩個相似三角形的面積之比等於它們對應中線之比的平方。
待辦事項
我們必須證明兩個相似三角形的面積之比等於它們對應中線之比的平方。
解答
設$\triangle ABC \sim \triangle DEF$。
$AP$和$DQ$是中線。
我們知道：
兩個相似三角形的面積之比等於它們對應邊長之比的平方。
這意味著：
$\frac{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}$
$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$
這意味著：
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$
$=\frac{2 \mathrm{BP}}{2 \mathrm{EQ}}$
$=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}$
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}$..........(i)
$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}$ (對應角)
因此，根據SAS相似性準則：
$\Delta \mathrm{ABP} \sim \Delta \mathrm{DEQ}$
這意味著：
$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DQ}}$........(ii)
由(i)和(ii)可得：
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DQ}}$
因此：
$\frac{\text { ar } \triangle \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AP}^{2}}{\mathrm{DQ}^{2}}$
證畢。
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