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法律研究在兩個等腰三角形中，底角相等，面積之比為\( 36: 25 \)。求這兩個三角形對應高線的比值。
已知
在兩個等腰三角形中，底角相等，面積之比為\( 36: 25 \)。
要求
我們需要求出它們對應高線的比值。
解
設這兩個三角形如下圖所示
$AB=AC$, $PQ=PR$ 且 $\angle A=\angle P$
$AD$ 和 $PS$ 為高線。
$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{36}{25}$....(i)
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle PQR$ 中，
$\angle A=\angle P$
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$ (因為 $\frac{AB}{AC}=\frac{PQ}{PR}$)
因此，
$\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$ (根據 SAS 相似性)
我們知道，
如果兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積之比等於它們對應邊長的平方之比。
$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{AB^2}{PQ^2}$
這意味著，
$\frac{AB^2}{PQ^2}=\frac{36}{25}$
$\frac{AB}{PQ}=\sqrt{\frac{36}{25}}$
$\frac{AB}{PQ}=\frac{6}{5}$
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle PQS$ 中，
$\angle B=\angle Q$ (因為 $\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$)
$\angle ADB=\angle PSQ=90^o$
因此，
$\triangle ADB \sim\ \triangle PSQ$ (根據 AA 相似性)
這意味著，
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PS}$
$\frac{AD}{PS}=\frac{6}{5}$
它們對應高線的比值為 $6:5$。
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