證明：如果一條直線平行於三角形的一條邊，並與另外兩邊相交，那麼這兩邊被分成比例線段。

待辦事項

我們必須證明：如果一條直線平行於三角形的一條邊，並與另外兩邊相交，那麼這兩邊被分成比例線段。

解答

設$\triangle ABC$中，一條直線$DE$平行於$BC$，且交$AB$於$D$，交$AC$於$E$。

作圖：連線$BE$、$CD$，並作$EF \perp AB$和$DG \perp AC$

$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ADE)}{\operatorname{ar}(\triangle BDE)}=\frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF}$

$=\frac{AD}{DB}$.........(i)

類似地，

$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ADE)}{\operatorname{ar}(\triangle DEC)}=\frac{\frac{1}{2} \times AE \times GD}{\frac{1}{2} \times EC \times GD}$

$=\frac{AE}{EC}$.............(ii)

$\triangle BDE$和$\triangle DEC$位於同一對平行線$DE$和$BC$之間，且底邊相同為$DE$。

因此，

$\operatorname{ar}(\triangle BDE)=\operatorname{ar}(\triangle DEC)$..........(iii)

由(i)、(ii)和(iii)，我們得到，

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

證畢。

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更新於: 2022年10月10日

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