證明：在直角三角形中，斜邊的平方等於另兩條邊的平方和。

已知：直角三角形ABC，其中$\angle B=90^{o}$

求證：$(斜邊)^{2}=(底邊)^{2}+(高)^{2}$

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

作圖：從B點作BD⟂AC。

在三角形$\vartriangle ADB$和$\vartriangle ABC$中，我們有

$\angle ADB=\angle ABC$ [都等於$90^{o}$]

且，$\angle A=\angle A$ [公共角]

因此，根據AA相似性準則，我們有

$\vartriangle ADB \sim \vartriangle ABC$

$\frac{AD }{AB}=\frac{AB}{AC}$ [相似三角形對應邊成比例]

                                                           

$AB^{2}=AD×AC                   .......( 1)$

在三角形$\vartriangle BDC$和$\vartriangle ABC$中，我們有

$\angle CDB=\angle ABC$ [都等於$90^{o}$]

且，$\angle C=\angle C$ [公共角]

因此，根據AA相似性準則，我們有

$\vartriangle BDC \sim \vartriangle ABC$

$\Rightarrow \frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}$ [相似三角形對應邊成比例]

$\Rightarrow BC^{2}=AC\times DC                                 .....(2)$

將公式$( 1)$和$( 2)$相加，我們得到

$AB^{2}+BC^{2}=AD×DC+AC×DC$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC(AD+DC)$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC×AC=AC^{2}$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

因此，證明了$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$