證明在正方形的一條邊上作等邊三角形的面積等於在正方形的一條對角線上作等邊三角形面積的一半。

已知：在正方形的一條邊上作等邊三角形。

要求：證明在正方形的一條邊上作等邊三角形的面積等於在正方形的一條對角線上作等邊三角形面積的一半。

 設正方形邊長為a。

 △ABC的邊長 = a

△ABC的面積 = 1/2 × 邊長 × 邊長 × sinθ

                 = 1/2 × a × a × sin60°                (因為△ABC是等邊三角形，所以θ=60°)

                                 = √3/4 a²

△AED在正方形的對角線上。

對角線 = √(a² + a²) = a√2                 (利用勾股定理)

△AED的面積 = √3/4 (a√2)²

                                   = √3/4 (2a²)

∴ △ABC面積 / △AED面積 = (√3/4 a²) / (√3/4 (2a²)) = 1/2

因此，已證明在正方形的一條邊上作等邊三角形的面積等於在正方形的一條對角線上作等邊三角形面積的一半。