證明正方形一邊上所作的等邊三角形的面積等於其一條對角線上所作的等邊三角形面積的一半。

已知：

正方形一邊上所作的等邊三角形。

要求：

我們必須證明正方形一邊上所作的等邊三角形的面積等於其一條對角線上所作的等邊三角形面積的一半。

解答

設正方形 ABCD 的邊長為 a。

這意味著，

AC² = AB² + BC²

= a² + a²

= 2a²

AC = √2a

∠PAD = ∠QAC = 60°

∠PDA = ∠QCA = 60°

因此，根據 AA相似性，

△PAD ∽ △QAC

這意味著，

ar(△PAD) / ar(△QAC) = AD² / AC² = a² / (√2a)²

= 1/2

ar(△PAD) = 1/2 * ar(△QAC)

證畢。

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更新於：2022-10-10

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