已知$AD$是等邊三角形$ABC$的高。以$AD$為底邊，作另一個等邊三角形$ADE$。證明三角形$ADE$的面積與三角形$ABC$的面積之比為$3:4$。

已知

$AD$是等邊三角形$ABC$的高。以$AD$為底邊，作另一個等邊三角形$ADE$。

要求

我們必須證明三角形$ADE$的面積與三角形$ABC$的面積之比為$3:4$。
解答
 

設$AB=BC=AC=2x$

在等邊三角形中，高也是中垂線。

這意味著，

$BD=DC=x$

$\triangle ADB$是一個直角三角形。因此，根據勾股定理，

$AB^2=AD^2+BD^2$

$(2x)^2=AD^2+x^2$

$AD^2=4x^2-x^2$

$AD^2=3x^2$

$AD=\sqrt{3x^2}$

$AD=\sqrt3x$

$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是等邊三角形，因此是等角三角形。

因此，

$\triangle ABC \sim\ \triangle ADE$

我們知道，

如果兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積之比與它們對應邊長的平方之比成正比。

這意味著，

$\frac{ar(\triangle ADE)}{ar(\triangle ABC)}=\frac{AD^2}{BC^2}$

$=\frac{3x^2}{(2x)^2}$

$=\frac{3x^2}{4x^2}$

$=\frac{3}{4}$

證畢。

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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