在一個直角三角形中，兩條直角邊長分別為 $a$ 和 $b$，斜邊長為 $c$，斜邊上的高為 $x$。證明：$ab = cx$。
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已知

在一個直角三角形中，兩條直角邊長分別為 $a$ 和 $b$，斜邊長為 $c$，斜邊上的高為 $x$。

要求

我們必須證明 $ab = cx$。

解答

在給定圖形中，$\vartriangle ABC$ 是一個直角三角形，兩條直角邊長分別為 $a$ 和 $b$，斜邊長為 $c$。

設 $BD$ 是斜邊 $AC$ 上的高。

在 $\vartriangle ACB$ 和 $\vartriangle CDB$ 中，

$\angle B = \angle B$ (公共角)

$\angle ACB = \angle CDB = 90^o$

因此，

$\vartriangle ACB ∼ \vartriangle CDB$ (由AA相似)

因此，

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{BC}$ (相似三角形的對應邊成比例)

$\frac{a}{x} = \frac{c}{b}$

$ab = cx$

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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