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法律研究證明 (2, -2), (-2, 1) 和 (5, 2) 是直角三角形的頂點。求三角形的面積和斜邊的長度。
已知
已知點為 (2, -2), (-2, 1) 和 (5, 2)。
要求
我們必須證明點 (2, -2), (-2, 1) 和 (5, 2) 是直角三角形的頂點，並求三角形的面積和斜邊的長度。
解答
設三角形的頂點為 \( \mathrm{A}(2,-2), \mathrm{B} \) (-2,1) 和 \( C(5,2) \)。
我們知道，
兩點 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之間的距離為 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-2-2)^{2}+(1+2)^{2}}=(-4)^{2}+(3)^{2} \)
\( =\sqrt{16+9} \)
\( =\sqrt{25}=5 \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(5+2)^{2}+(2-1)^{2}} \)
\( =\sqrt{(7)^{2}+(1)^{2}} \)
\( =\sqrt{49+1}=\sqrt{50} \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(3+1)^{2}+(0-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{16+9} \)
\( =\sqrt{25}=5 \)
這裡，
\( \mathrm{AB}=\mathrm{CA} \) 且 \( \mathrm{BC} \) 是最長邊。
\( \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CA}^{2}=5^{2}+5^{2} \)
\( =25+25=50 \)
\( \mathrm{BC}^{2}=(\sqrt{50})^2=50 \)
\( \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CA}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \)
因此，\( \Delta \mathrm{ABC} \) 是一個直角三角形。
三角形的面積 $=\frac{1}{2} \times $ 底 $\times$ 高
\( =\frac{1}{2} \times 5 \times 5 \)
\( =\frac{25}{2}=12.5 \) 平方單位
斜邊的長度 \( =\mathrm{BC}=\sqrt{50} \) 單位
\( =\sqrt{25+2}=5 \sqrt{2} \) 單位
三角形的面積為 12.5 平方單位，斜邊的長度為 \(5\sqrt{2}\) 單位。
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