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法律研究證明點$A (2, 3), B (-2, 2), C (-1, -2)$和$D (3, -1)$是正方形$ABCD$的頂點。
已知
已知點為$A (2, 3), B (-2, 2), C (-1, -2)$和$D (3, -1)$。
要求
我們必須證明點$A (2, 3), B (-2, 2), C (-1, -2)$和$D (3, -1)$是正方形的頂點。
解答
我們知道，
兩點\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之間的距離為\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( AB=\sqrt{(-2-2)^{2}+(2-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}} \)
\( =\sqrt{16+1} \)
\( =\sqrt{17} \)
\( BC=\sqrt{(-1+2)^{2}+(-2-2)^{2}} \)
\( =\sqrt{(1)^{2}+(-4)^{2}} \)
\( =\sqrt{1+16} \)
\( =\sqrt{17} \)
\( CD=\sqrt{(3+1)^{2}+(-1+2)^{2}} \)
\( =\sqrt{16+1} \)
\( =\sqrt{17} \)
\( DA=\sqrt{(2-3)^{2}+(3+1)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-1)^{2}+(4)^{2}} \)
\( =\sqrt{1+16} \)
\( =\sqrt{17} \)
\( AC=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-2-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+25} \)
\( =\sqrt{34} \)
\( BD=\sqrt{(3+2)^{2}+(-1-2)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{25+9} \)
\( =\sqrt{34} \)
\( \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA} \) 且 \( \mathrm{AC}=\mathrm{BD} \)
這裡，所有邊都相等，對角線也彼此相等。
因此，給定的點是正方形的頂點。
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