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法學一個正方形的兩個對角頂點座標為(-1, 2)和(3, 2)。求另外兩個頂點的座標。
已知
一個正方形的兩個對角頂點座標為(-1, 2)和(3, 2)。
要求
求另外兩個頂點的座標。
解答
設ABCD為已知正方形，A(-1, 2)和C(3, 2)為其對角頂點。
設B點的座標為(x, y)。
連線AC。
這意味著：
AB=BC=CD=DA
我們知道：
兩點A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)之間的距離為$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。
因此：
AB=BC
兩邊平方，得到：AB²=BC²
$\Rightarrow (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y+4 =x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4$
$\Rightarrow 2 x+6 x-4 y+4 y=13-5$
$\Rightarrow 8 x=8$
$\Rightarrow x=1$.........(i)
ABC是一個直角三角形。
$\Rightarrow AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$\Rightarrow (3+1)^{2}+(2-2)^{2}=x^{2}+2 x+1+y^{2}-4 y +4+x^{2}-6 x+9+y^{2}-4 y+4$
$(4)^{2}=2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18$
$16=2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18$
$\Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+18-16=0$
$\Rightarrow 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y+2=0$
$\Rightarrow 2 (x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1)=0$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$
代入x=1，得到：
$(1)^{2}+y^{2}-2(1)-4 y+1=0$
$\Rightarrow 1+y^2-2-4y+1=0$
$\Rightarrow y^2-4y=0$
$\Rightarrow y(y-4)=0$
$\Rightarrow(y)(y-4)=0$
$y=0$ 或 $y-4=0$
$y=0$ 或 $y=4$
因此，正方形的另外兩個頂點座標為(1,0)和(1,4)。
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