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法律研究一個三角形的面積為5。它的兩個頂點為$(2, 1)$和$(3, -2)$。第三個頂點位於直線$y = x + 3$上。求第三個頂點的座標。
已知
一個三角形的面積為5。它的兩個頂點為$(2, 1)$和$(3, -2)$。第三個頂點位於直線$y = x + 3$上。
要求
我們必須找到第三個頂點。
解
設$A(2, 1), B(3, -2)$和C(x, y)$為$\triangle ABC$的頂點。
我們知道，
頂點為$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面積由以下公式給出：
三角形面積$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形\( ABC的面積=\frac{1}{2}[2(-2-y)+3(y-1)+x(1+2)] \)
\( 5=\frac{1}{2}[-4-2y+3y-3+3x] \)
\( 5(2)=(y-7+3x) \)
\( 10+7=3x+y \)
\( 3x+y=17 \)
第三個頂點位於直線$y = x + 3$上。
這意味著，
\( y=x+3 \)
\( \Rightarrow 3x+(x+3)=17 \)
\( \Rightarrow 4x=17-3 \)
\( \Rightarrow 4x=14 \)
\( \Rightarrow x=\frac{14}{4} \)
\( \Rightarrow x=\frac{7}{2} \)
\( \Rightarrow y=\frac{7}{2}+3 \)
\( \Rightarrow y=\frac{7+2(3)}{2} \)
\( \Rightarrow y=\frac{13}{2} \)
第三個頂點是$(\frac{7}{2}, \frac{13}{2})$。
更新於： 2022年10月10日
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