不用進行長除法，說明下列有理數是否具有有限小數展開或無限迴圈小數展開。$\frac{213}{3125}$

已知： 

已知有理數為 $\frac{213}{3125}$。

要求： 

這裡，我們必須在不實際進行長除法的情況下，檢查給定的有理數是否具有有限小數展開或無限迴圈小數展開。

解答

如果我們有一個有理數 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互質的，並且 $q$ 的素因數分解形式為 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 是非負整數，則 $\frac{p}{q}$ 具有有限小數展開。

現在，

$\frac{213}{3125}=\frac{213}{5\times5\times5\times5\times5}=\frac{213}{5^5}$

在 $\frac{213}{3125}$ 中

• $213$ 和 $3125$ 是互質的。
• $3125=2^0\times5^5$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。

因此，$\frac{213}{3125}$ 具有有限小數展開。 

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更新於：2022年10月10日

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