不用進行長除法，判斷 $\frac{987}{10500}$ 的十進位制展開是有限小數還是無限迴圈小數。請說明理由。

已知： 

給定的有理數是 $\frac{987}{10500}$。

要求： 

這裡，我們需要在不進行長除法的情況下，檢查給定的有理數的十進位制展開是有限小數還是無限迴圈小數。

解答

如果我們有一個有理數 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 互質，並且 $q$ 的質因數分解形式為 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 是非負整數，那麼 $\frac{p}{q}$ 有有限小數展開。

現在，

$\frac{987}{10500}=\frac{21\times47}{21\times500}=\frac{47}{500}$

在 $\frac{47}{500}$ 中，

• $47$ 和 $500$ 互質。
• $500=2^2 \times 5^3$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。

所以，$\frac{987}{10500}$ 的十進位制展開是有限小數。  

教程點

更新於： 2022年10月10日

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