資料結構
網路
關係型資料庫管理系統
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化學
生物
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法律研究在不進行長除法的情況下，判斷下列有理數的小數表示形式是有限小數還是無限迴圈小數
(i) \( \frac{13}{3125} \).
(ii) $\frac{17}{8}$.
(iii) $\frac{64}{455}$.
(iv) $\frac{15}{1600}$.
(v) $\frac{29}{343}$.
(vi) $\frac{23}{2^3\times5^2}$.
(vii) $\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$.
(viii) $\frac{6}{15}$.
(ix) $\frac{35}{50}$.
(x) $\frac{77}{210}$.
題目：
在不進行長除法的情況下，判斷下列有理數的小數表示形式是有限小數還是無限迴圈小數。
解答
如果我們有一個有理數 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 互質，並且 $q$ 的質因數分解形式為 $2^n.5^m$，其中 $n$ 和 $m$ 為非負整數，那麼 $\frac{p}{q}$ 有有限小數表示形式。
現在，
(i) 在 $\frac{13}{3125}$ 中，
- $13$ 和 $3125$ 互質。
- $3125 = 5^5 \times 2^0$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{13}{3125}$ 有有限小數表示形式。
(ii) 在 $\frac{17}{8}$ 中，
- $17$ 和 $8$ 互質。
- $8= 2^3 \times 5^0$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{17}{8}$ 有有限小數表示形式。
(iii) $\frac{64}{455}=\frac{64}{5\times7\times13}$
在 $\frac{64}{455}$ 中，
- $64$ 和 $455$ 互質。
- $455= 5 \times 7\times13$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{64}{455}$ 有無限迴圈小數表示形式。
(iv) $\frac{15}{1600}=\frac{3\times5}{2^6\times5^2}$
$=\frac{3}{2^6\times5}$
在 $\frac{3}{2^6\times5}$ 中，
- $3$ 和 $2^6\times5$ 互質。
- $2^6\times5= 2^6 \times 5^1$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{15}{1600}$ 有有限小數表示形式。
(v) $\frac{29}{343}=\frac{29}{7\times7\times7}$
在 $\frac{29}{343}$ 中，
- $29$ 和 $343$ 互質。
- $343= 7^3$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{29}{343}$ 有無限迴圈小數表示形式。
(vi) 在 $\frac{23}{2^3\times5^2}$ 中，
- $23$ 和 $2^3\times5^2$ 互質。
- $2^3 \times 5^2$ 的形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{23}{2^3\times5^2}$ 有有限小數表示形式。
(vii) 在 $\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$ 中
- $129$ 和 $2^2\times5^7\times7^{17}$ 互質。
- $2^2 \times 5^7 \times 7^{17}$ 的形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{129}{2^2\times5^7\times7^{17}}$ 有無限迴圈小數表示形式。
(viii) $\frac{6}{15}=\frac{2\times3}{3\times5}$
$=\frac{2}{5}$
在 $\frac{2}{5}$ 中，
- $2$ 和 $5$ 互質。
- $5= 2^0 \times 5^1$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{6}{15}$ 有有限小數表示形式。
(ix) $\frac{35}{50}=\frac{5\times7}{5\times10}=\frac{7}{10}$
在 $\frac{7}{10}$ 中
- $7$ 和 $10$ 互質。
- $10 = 2^1 \times 5^1$，其形式為 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{35}{50}$ 有有限小數表示形式。
(x) $\frac{77}{210}=\frac{7\times11}{7\times30}=\frac{11}{30}$
在 $\frac{11}{30}$ 中
- $11$ 和 $30$ 互質。
- $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$，其形式不是 $2^n\ \times\ 5^m$。
所以，$\frac{77}{210}$ 有無限迴圈小數表示形式。
24 次檢視
