證明外切於圓的平行四邊形是菱形。

已知：一個外切於圓的平行四邊形。

要求：證明外切於圓的平行四邊形是菱形。

解答

$\because$ 已知平行四邊形 ABCD 外切於圓，其邊與圓相切於點 P、Q、R 和 S。

$\therefore \ $AP 和 AS 是從外點 A 引出的圓的切線。

BP 和 BQ 是從外點 B 引出的圓的切線。

CQ 和 CR 是從外點 C 引出的圓的切線。

DR 和 DS 是從外點 D 引出的圓的切線。

我們知道，從圓外一點引出的圓的切線長度總是相等的。

$\therefore \ AP=AS\ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .( 1)$

$BP=BQ\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc ( 2)$

$CQ=CR\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .( 3)$

$DR=DS\dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .\dotsc ( 4)$

$讓我們將 ( 1) 、( 2) 、( 3) 和 ( 4) 相加$

$AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS$

$\Rightarrow ( AP+BP) +( CR+DR) =( AS+DS) +( BQ+CQ)$ 

$( \because AP+BP=AB,\ CR+DR=CD,\ AS+DS=AD\ And\ BQ+CQ=BC)$

 

$\Rightarrow AB+CD=AD+BC$ 

$\Rightarrow AB+AB=BC+BC\ $ $( \because \ ABCD\ 是一個平行四邊形. AB=CD\ and\ BC=AD\ )$

$\Rightarrow 2AB=2BC$

因此 $AB=BC=CD=AD$

這證明了給定的平行四邊形是菱形。