如果平行四邊形的各邊都與一個圓相切，證明該平行四邊形是菱形。

已知：一個平行四邊形，其所有邊都與一個圓相切。

要求：證明該平行四邊形是菱形。

這裡我們畫一個外切於圓的平行四邊形PQRS，其所有邊都與圓相切於點A、B、C和D。

因為它是平行四邊形

$PS=QR$ 且 $PQ=RS$

我們知道，從同一點引出的圓的切線長度總是相等的。

$PB=PA$

$QD=QA$

$RD=RC$

$SC=SB$

將以上四個等式相加

$PB+QD+RD+SC=PA+QA+RC+SB$

$(QD+RD)+(PB+SC)=(PA+QA)+(RC+SB)$

$QR+(PB+SC)=PQ+(RC+SC)$                                     $(已知SB=SC)$

$QR+PS=PQ+RS$                                             $(PB+SB=PS 且 RC+SC=RS)$

$QR+QR=PQ+PQ$                                      $(因為 PS=QR 且 PQ=RS)$

$2QR=2PQ$

$\Rightarrow PQ=QR=RS=SP$

$\therefore$ 平行四邊形PQRS是菱形。