證明無論實數 $a$ 和 $b$ 是什麼，第 n 項為 $a + nb$ 的數列始終是一個等差數列。公差是多少？

已知

第 n 項為 $a + nb$ 的數列，其中 $a$ 和 $b$ 是實數。

要求

我們需要證明以上數列是一個等差數列，並求出公差。

解答

讓我們透過考慮 $n=1, 2, 3, 4, 5.....$ 的值來檢查形成的數列。

對於 $n=1$，

$a+nb=a+(1)b=a+b$

對於 $n=2$，

$a+nb=a+(2)b=a+2b$

對於 $n=3$，

$a+nb=a+(3)b=a+3b$

對於 $n=4$，

$a+nb=a+(4)b=a+4b$

對於 $n=5$，

$a+nb=a+(5)b=a+5b$

形成的數列為 $(a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b), (a+5b),......$

這裡，

$a_1=a+b, a_2=a+2b, a_3=a+3b, a_4=a+4b, a_5=a+5b$

$a_2-a_1=a+2b-(a+b)=a-a+2b-b=b$

$a_3-a_2=a+3b-(a+2b)=a-a+3b-2b=b$

$a_4-a_3=a+4b-(a+3b)=a-a+4b-3b=b$

$a_5-a_4=a+5b-(a+4b)=a-a+5b-4b=b$

因此，對於 $a$ 和 $b$ 的任何實數值，第 n 項為 $a+nb$ 的數列始終是一個等差數列，公差為 $b$。

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更新於: 2022年10月10日

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