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法律研究如圖 4 所示，一個圓內接於邊長為 12cm 的等邊三角形△ABC 中。求內切圓的半徑和陰影部分的面積。[使用 π = 3.14 和 √3 = 1.73]。
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已知：圖 4，一個邊長為 12 cm 的等邊三角形 ABC，以及內接於該三角形的圓。
求解：求內切圓的半徑和陰影部分的面積。
解答
已知△ABC 是邊長為 12 cm 的等邊三角形。
∴ AB=BC=CA
連線 OA、OB 和 OC
作 OP ⊥ BC
OQ ⊥ AC
OR ⊥ AB
設圓的半徑為 r cm。
OR=OP=OQ=r
在△AOB 中，
AB 為底，OR 為△AOB 的高，
∴ △AOB 的面積，A1 = 1/2 × 底 × 高
⇒ A1 = 1/2 × AB × r
⇒ A1 = 1/2 × 12 × r
⇒ A1 = 6r
類似地，△AOC 和△BOC 的面積為
A2 = 6r
A3 = 6r
△ABC 的面積 = 1/2 × sinθ × (邊長)2
= 1/2 × sin60° × 12 × 12
= 1/2 × √3/2 × 144
= 36√3 cm2
△ABC 的面積 = △AOB 的面積 + △AOC 的面積 + △BOC 的面積
⇒ 6r + 6r + 6r = 36√3
⇒ 18r = 36√3
⇒ r = 36√3 / 18
⇒ r = 2√3 cm
圓的面積 = πr2
= π(2√3)2
= 12π cm2
陰影部分的面積 = △ABC 的面積 - 圓的面積
= 36√3 - 12π
= (36 × 1.73 - 12 × 3.14)
$=( 62.28-37.68)$
= 24.6 cm2
因此，陰影部分的面積為 24.6 cm2。
更新於： 2022年10月10日
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