在等腰三角形ABC中，底邊AB向兩端延長到P和Q，使得AP × BQ = AC²。證明△APC ∽ △BCQ。

已知

在等腰三角形ABC中，底邊AB向兩端延長到P和Q，使得AP × BQ = AC²。

要求

我們必須證明△APC ∽ △BCQ。

解答

AC=BC 且 AP × BQ = AC²。

AP × BQ = AC × AC

AP × BQ = AC × BC AP/AC = BC/BQ ……(i)

在△ABC中

∠CAB = ∠CBA ……(ii) （等邊對等角）

∠CAB + ∠CAP = 180° ……(iii) （線性對）

∠CBA + ∠CBQ = 180° ……(iv) （線性對）

由(ii)、(iii)和(iv)，我們有：

∠CAP = ∠CBQ ……(v)

在△APC和△BCQ中，由(i)和(v)，

∠CAP = ∠CBQ

AP/AC = BC/BQ

這意味著：

△APC ∽ △BCQ。 （根據SAS相似性）

證畢。

教程點

更新於：2022年10月10日

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