如果多項式$x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35$的兩個零點是$2 \pm \sqrt3$，求其他零點。

已知

多項式$x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35$的兩個零點是$2 \pm \sqrt3$。

要求

我們必須找到其他零點。

解答

兩個零點是$2 + \sqrt3$和$2 - \sqrt3$

這意味著，

$[x-(2 + \sqrt3)] [x- (2 - \sqrt3)] = (x-2- \sqrt3)(x-2 + \sqrt3)$

$= (x-2)^2– (\sqrt3)^2$

$x^2 – 4x + 1$是給定多項式的因式。

用$x^2 – 4x + 1$除給定多項式，我們得到：

$x^2-4x+1$)$x^4-6x^3-26x^2+138x-35$($x^2-2x-35$

                     $x^4-4x^3+x^2$

                ----------------------------------

                    $-2x^3-27x^2+138x-35$

                   $-2x^3+8x^2-2x$

              --------------------------------------

                             $-35x^2+140x-35$

                            $-35x^2+140x-35$

                         --------------------------

                                  $0$

為了得到其他的零點，

$x^2-2x-35=0$

$x^2-7x+5x-35=0$

$x(x-7)+5(x-7)=0$

$(x+5)(x-7)=0$

$x+5=0$ 或 $x-7=0$

$x=-5$ 或 $x=7$

因此，給定多項式的其他零點是$7$和$-5$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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