求等差數列前 51 項的和：已知該數列的第二項為 2，第四項為 8。

已知

等差數列的第二項為 2，第四項為 8。
要求

求該等差數列前 51 項的和。

解答
設該等差數列的首項和公差分別為 $a$ 和 $d$。

我們知道：

$a_n=a+(n-1)d$

這意味著：

$a_2=a+(2-1)d$

$2=a+d$

$a=2-d$.......(i)

$a_4=a+(4-1)d$

$8=a+3d$

$8=2-d+3d$ (由 (i) 式)

$2d=8-2$

$d=\frac{6}{2}$

$d=3$

因此 \( a=2-d=2-3=-1 \)

我們知道：

\( S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d] \)
\( S_{51}=\frac{51}{2}[2 \times(-1)+(51-1) \times 3] \)
\( =\frac{51}{2}[-2+50 \times 3] \)
\( =\frac{51}{2}(-2+150) \)
\( =\frac{51}{2} \times 148 \)

\( =51 \times 74 \)

\( =3774 \)

該等差數列前 51 項的和為 3774。

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更新於：2022年10月10日

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