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法律研究確定點$(-6, a)$在連線點$A (-3, 1)$和$B (-8, 9)$的線段上的分點比。也求出$a$的值。
已知
點 $( -6,\ a)$ 將連線點 $A( -3,\ 1)$ 和 $B( -8,\ 9)$ 的線段分成兩部分。
要求
我們需要找到分點比和 $a$ 的值。
解答
設點 $P( -6,\ a)$ 將連線點 $A( -3,\ 1)$ 和 $B(-8, 9)$ 的線段按 $k:1$ 的比例分成兩部分。
使用分點公式，我們有：
$P(x, y)=( \frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})$
這意味著：
$P(-6, a)=( \frac{k(-8)+1(-3)}{k+1}, \frac{k(9)+1(1)}{k+1})$
$\Rightarrow (-6, a)=( \frac{-8k-3}{k+1}, \frac{9k+1}{k+1})$
比較得到：
$\frac{-8k-3}{k+1}=-6$
$\Rightarrow -8k-3=-6( k+1)$
$\Rightarrow -8k-3=-6k-6$
$\Rightarrow 8k-6k=6-3$
$\Rightarrow 2k=3$
$\Rightarrow k=\frac{3}{2}$
這意味著：
所需的分點比為 $\frac{3}{2}:1=\frac{3}{2}\times2:1\times2=3:2$。
因此，
$a=\frac{9k+1}{k+1}$
$\Rightarrow a=\frac{9(\frac{3}{2})+1}{\frac{3}{2}+1}$
$\Rightarrow a=\frac{\frac{27}{2}+1}{\frac{3+2\times1}{2}}$
$\Rightarrow a=\frac{\frac{27+2(1)}{2}}{\frac{5}{2}}$
$\Rightarrow a=\frac{29}{5}$
因此，分點比為 $3:2$，$a$ 的值為 $\frac{29}{5}$。
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