在一個半徑為 21 釐米的圓中，一條弧在圓心處所對的角為 $60^o$。求
(i) 弧長。
(ii) 該弧所形成扇形的面積。
(iii) 由相應的弦所形成弓形的面積。

已知

圓的半徑 $r=21 \mathrm{~cm}$。

弧所對的角 $=60^{\circ}$

要求

我們需要求

(i) 弧長。

(ii) 該弧所形成扇形的面積。

(iii) 由相應的弦所形成弓形的面積。

解答

(i) 令弧長為 $l$。

我們知道，

弧長 $=2 \pi r(\frac{\theta}{360^{\circ}})$

因此，

弧長 $l=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \mathrm{cm}$

$=132 \times \frac{1}{6} \mathrm{cm}$

$=22 \mathrm{cm}$

弧長為 $22 \mathrm{~cm}$。 

(ii) 我們知道，

扇形面積 $=\pi r^{2} \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$

因此，

該弧所形成扇形的面積$=\frac{22}{7}(21)^{2} \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$

$=\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times \frac{1}{6}$

$=231 \mathrm{~cm}^{2}$

扇形面積為 $231 \mathrm{~cm}^{2}$。  

(iii) 由相應的弦所形成弓形的面積 = 扇形面積 - 弦與圓半徑之間形成的三角形的面積

$=231-(\frac{1}{2} r^{2} \sin \theta)$

$=231-\frac{1}{2} \times(21)^{2} \times \sin 60^{\circ}$

$=231-\frac{1}{2} \times 441 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}$

$=231-190.95$

$=40.05 \mathrm{~cm}^{2}$

由相應的弦所形成弓形的面積為 $40.05 \mathrm{~cm}^{2}$。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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